Grade 9 2013

Odredi sva realna rješenja sustava jednadžbi

$$\begin{aligned} x^{2} - y &= z^{2} \\ y^{2} - z &= x^{2} \\ z^{2} - x &= y^{2}. \end{aligned}$$

Dokaži da ne postoje prirodni brojevi $k$ i $n$ takvi da vrijedi

$$k(k + 1)(k + 2)(k + 3) = n(n + 1).$$

Neka su $a$ i $b$ duljine kateta, a $c$ duljina hipotenuze pravokutnog trokuta.

Dokaži da vrijedi

$$\left(1 + \frac{c}{a}\right) \left(1 + \frac{c}{b}\right) \geqslant 3 + 2\sqrt{2}.$$

Dan je šesterokut $ABCDEF$ čije se dijagonale $\overline{AD}$, $\overline{BE}$ i $\overline{CF}$ sijeku u jednoj točki koja je ujedno polovište svake od tih dijagonala.

Dokaži da je površina danog šesterokuta dvostruko veća od površine trokuta $ACE$.

Brojevi $1, 2, \ldots, 10$ raspoređeni su u kružiće na slici, a zatim je u svaki od devet malih trokuta upisan zbroj brojeva upisanih u njegove vrhove.

Dokaži da među brojevima upisanim u trokute postoje tri čiji je zbroj barem $48$.