Grade 9 2015

Oko okruglog stola nalazi se deset stolica označenih redom brojevima od $1$ do $10$ (pri čemu su stolice $1$ i $10$ susjedne) i na svakoj sjedi po jedan vitez. Svaki vitez na početku ima paran broj zlatnika. Istovremeno svaki vitez pokloni polovinu svojih zlatnika svom lijevom susjedu, a pola svojih zlatnika svom desnom susjedu. Nakon toga vitez na stolici $1$ ima $22$ zlatnika, a svaki idući za dva više, sve do viteza na stolici $10$ koji ima $40$ zlatnika. Koliko je zlatnika na početku imao vitez koji na kraju ima $36$ zlatnika?

Dokaži da ne postoji prirodni broj $n$ takav da $6^n - 1$ dijeli $7^n - 1$.

Neka su $a$, $b$ i $c$ pozitivni realni brojevi za koje vrijedi $a^2 + b^2 + c^2 = 3$. Dokaži da vrijedi

$$\frac{a^4 + 3ab^3}{a^3 + 2b^3} + \frac{b^4 + 3bc^3}{b^3 + 2c^3} + \frac{c^4 + 3ca^3}{c^3 + 2a^3} \leqslant 4.$$

Na ploči se nalazi prvih $n$ prirodnih brojeva ($n \geqslant 3$). Ante ponavlja sljedeći postupak: najprije po volji bira dva broja na ploči, a zatim ih povećava za isti proizvoljni iznos.

Odredi sve prirodne brojeve $n$ za koje Ante, ponavljanjem tog postupka, može postići da svi brojevi na ploči budu jednaki.

Kružnice $k_1$ i $k_2$ sijeku se u točkama $A$ i $B$. Pravac $l$ siječe kružnicu $k_1$ u točkama $C$ i $E$, a kružnicu $k_2$ u točkama $D$ i $F$ tako da se točka $D$ nalazi između $C$ i $E$, a točka $E$ između $D$ i $F$. Pravci $CA$ i $BF$ sijeku se u točki $G$, a pravci $DA$ i $BE$ u točki $H$. Dokaži da je $CF \parallel HG$.