Grade 9 2016

Izračunaj zbroj $$\frac{2^2 + 1}{2^2 - 1} + \frac{3^2 + 1}{3^2 - 1} + \dots + \frac{100^2 + 1}{100^2 - 1}.$$

Dana je dužina $\overline{AD}$ duljine 3. Neka su $B$ i $C$ ($C \neq A$) točke na kružnici s promjerom $\overline{AD}$ takve da vrijedi $|AB| = |BC| = 1$. Izračunaj $|CD|$.

Odredi sve trojke realnih brojeva $(x,y,z)$ takve da vrijedi $$\frac{1}{x} + \frac{1}{y + z} = \frac{1}{3}, \quad \frac{1}{y} + \frac{1}{z + x} = \frac{1}{5}, \quad \frac{1}{z} + \frac{1}{x + y} = \frac{1}{7}.$$

Neka su $a$, $b$ i $c$ prirodni brojevi takvi da vrijedi $$c = a + \frac{b}{a} - \frac{1}{b}.$$ Dokaži da je $c$ kvadrat nekog prirodnog broja.

U ravnini je označeno 15 točaka. Neke su obojane crveno, neke plavo, a ostale zeleno. Poznato je da je broj crvenih točaka veći i od broja plavih i od broja zelenih točaka. Zbroj duljina svih dužina kojima je jedna krajnja točka crvena, a druga zelena iznosi 31. Zbroj duljina svih dužina kojima je jedna krajnja točka zelena, a druga plava iznosi 25. Zbroj duljina svih dužina kojima je jedna krajnja točka plava, a druga crvena iznosi 5. Odredi broj točaka svake boje.