Grade 9 2018

Odredi sve trojke realnih brojeva $(x, y, z)$ koje zadovoljavaju sustav jednadžbi $$\begin{aligned} x &+ y \; - z &= -1 \\ x^2 &- y^2 + z^2 &= \phantom{-}1 \\ -x^3 &+ y^3 + z^3 &= -1. \end{aligned}$$

Neka su $D_0, D_1, \ldots, D_{2018}$ točke na dužini $\overline{AB}$ takve da je $D_0 = A$, $D_{2018} = B$ i $$|D_0D_1| = |D_1D_2| = \cdots = |D_{2017}D_{2018}|.$$

Ako je $C$ točka takva da je $\angle BCA = 90^\circ$, dokaži da vrijedi $$|CD_0|^2 + |CD_1|^2 + \cdots + |CD_{2018}|^2 = |AD_1|^2 + |AD_2|^2 + \cdots + |AD_{2018}|^2.$$

Dani su prosti broj $p$ i prirodni broj $n \geqslant p-1$. Ako je broj $np+1$ kvadrat nekog prirodnog broja, dokaži da je broj $n+1$ zbroj kvadrata nekih $p$ prirodnih brojeva.

U trokutu $ABC$ je $\measuredangle CAB = 2\measuredangle ABC$. Točka $D$ nalazi se unutar trokuta $ABC$, a pritom vrijedi $|AD| = |BD|$ i $|CD| = |AC|$. Dokaži da je $\measuredangle ACB = 3\measuredangle DCB$.

Za prirodne brojeve raspoređene ukrug kažemo da su u cik-cak rasporedu ako je svaki broj ili veći ili manji od oba svoja susjeda. Za par susjednih brojeva kažemo da je dobar ako su nakon njegovog uklanjanja preostali brojevi također u cik-cak rasporedu.

Brojevi od 1 do 300 raspoređeni su u cik-cak raspored. Koliki je najmanji mogući broj dobrih parova susjednih brojeva?