Grade 9 2019

Ana i Vanja stoje zajedno kraj željezničke pruge i čekaju da prođe vlak koji vozi stalnom brzinom. U trenutku kad prednji kraj vlaka dođe do njih, Ana krene stalnom brzinom u smjeru kretanja vlaka, a Vanja istom brzinom u suprotnom smjeru. Svaka od njih se zaustavlja u trenutku kad stražnji kraj vlaka prođe kraj nje. Ana je ukupno prošla 45 metara, a Vanja 30 metara. Koliko je dugačak vlak?

U pravokutnom trokutu duljine svih stranica su prirodni brojevi, a polumjer upisane kružnice iznosi 4. Odredi sve moguće vrijednosti duljina kateta tog trokuta.

Neka su $a$, $b$ i $c$ pozitivni realni brojevi takvi da je $a + b + c = 1$. Dokaži da vrijedi

$$\frac{1 + 9a^2}{1 + 2a + 2b^2 + 2c^2} + \frac{1 + 9b^2}{1 + 2b + 2c^2 + 2a^2} + \frac{1 + 9c^2}{1 + 2c + 2a^2 + 2b^2} < 4.$$

Neka je $k > 1$ prirodan broj. Dano je $k + 2$ međusobno različitih prirodnih brojeva manjih od $3k + 1$. Dokaži da među njima postoje dva čija je razlika veća od $k$ i manja od $2k$.

U jednakokračnom trokutu $ABC$ vrijedi $|AB| = |AC|$ i $\measuredangle BAC < 60°$. Neka je točka $D$ na dužini $\overline{AC}$ takva da je $\measuredangle DBC = \measuredangle BAC$, neka je $E$ sjecište simetrale dužine $\overline{BD}$ i paralele s $BC$ kroz točku $A$ te neka je $F$ točka na pravcu $AC$ takva da se $A$ nalazi između $C$ i $F$ i vrijedi $|AF| = 2|AC|$.

(a) Dokaži da su pravci $BE$ i $AC$ paralelni.

(b) Dokaži da se okomica iz $F$ na $AB$ i okomica iz $E$ na $AC$ sijeku na pravcu $BD$.

U (b) dijelu zadatka dozvoljeno je korištenje tvrdnje iz (a) čak i ako nije dokazana.