Grade 10 1995

Neka su $a, b, c$ kompleksni brojevi takvi da je $|a| = |b| = |c| = 1$.

(a) Ako je $a + b + c \neq 0$, pokažite da je $$\left| \frac{bc + ca + ab}{a + b + c} \right| = 1.$$

(b) Pokažite da je $$\frac{(b + c)(c + a)(a + b)}{abc}$$ realan broj.

Za koje cijele brojeve $x$ izraz $x^2 + 1$ dijeli $x^3 - 8x^2 + 2x$?

Zadan je trokut $ABC$ s visinama $h_a, h_b, h_c$. Sjecišta simetrala kutova s nasuprotnim stranicama označimo s $D, E, F$, a udaljenosti točaka $D, E, F$ od pravaca $AB, BC, CA$ redom sa $d_a, d_b, d_c$. Dokažite nejednakost $$\frac{d_a}{h_a} + \frac{d_b}{h_b} + \frac{d_c}{h_c} \geq \frac{3}{2}.$$

Na željezničkoj pruzi dugačkoj $56$ km ima $11$ postaja $A_1, A_2, \ldots, A_{11}$. Udaljenosti oblika $d(A_i, A_{i+2})$, $(i = 1, 2, \ldots, 9)$ nisu veće od $12$ km, a udaljenosti oblika $d(A_i, A_{i+3})$, $(i = 1, 2, \ldots, 8)$ nisu manje od $17$ km. Kolika je udaljenost $d(A_2, A_7)$?