Grade 10 2002

Nadite sva rješenja jednadžbe $$(x^2 + 3x - 4)^3 + (2x^2 - 5x + 3)^3 = (3x^2 - 2x - 1)^3.$$

Neka su $a$, $b$, $c$ realni brojevi veći od $1$. Dokažite sljedeću nejednakost $$\log_a \left(\frac{b^2}{ac} - b + ac\right) \log_b \left(\frac{c^2}{ab} - c + ab\right) \log_c \left(\frac{a^2}{bc} - a + bc\right) \geq 1.$$

Ako za trokute s duljinama stranica $a$, $b$, $c$ i $a'$, $b'$, $c'$ te nasuprotnim kutovima $\alpha$, $\beta$, $\gamma$ i $\alpha'$, $\beta'$, $\gamma'$ vrijede jednakosti $\alpha + \alpha' = \pi$ i $\beta = \beta'$, dokažite da vrijedi i jednakost $aa' = bb' + cc'$.

Odredite sve pozitivne cijele brojeve $n$ za koje jednadžba $$\frac{1}{x} + \frac{1}{y} = \frac{1}{n}$$ ima točno pet rješenja $(x,y)$ u skupu pozitivnih cijelih brojeva.