Grade 10 2007

U skupu kompleksnih brojeva riješite jednadžbu $$(x^2 - a^2)^2 - 4ax - 1 = 0,$$ gdje je $a$ realni broj.

Dana je polukružnica nad promjerom $\overline{AB}$ i na njoj točke $C$ i $D$ tako da vrijedi:

a) točka $C$ pripada luku $\widehat{AD}$;

b) $\measuredangle CSD$ je pravi, pri čemu je $S$ središte dužine $\overline{AB}$.

Neka je $E$ sjecište pravaca $AC$ i $BD$, a $F$ sjecište $AD$ i $BC$. Dokažite da je $|EF| = |AB|$.

Nadite sve prirodne brojeve koji su najveća zajednička mjera brojeva oblika $5n + 6$ i $8n + 7$ za neko $n \in \mathbf{N}$.

Unutar trokuta $ABC$ nalazi se točka $S$. Dokažite da je umnožak udaljenosti točke $S$ od stranica trokuta $ABC$ najveći kada je točka $S$ njegovo težište.