Grade 10 2008

Nađi sva realna rješenja jednadžbe

$$\sqrt{2x^2 + 3x + 5} + \sqrt{2x^2 - 3x + 5} = 3x.$$

Neka su $a$, $b$, $c$ pozitivni realni brojevi takvi da je $a^2 + b^2 + c^2 = 3$. Dokaži nejednakost

$$\frac{1}{1 + ab} + \frac{1}{1 + bc} + \frac{1}{1 + ca} \geq \frac{3}{2}.$$

Odredi sve cijele brojeve $x$ takve da je $1 + 5 \cdot 2^x$ kvadrat racionalnog broja.

Dan je četverokut $ABCD$ s kutovima $\alpha = 60^\circ$, $\beta = 90^\circ$, $\gamma = 120^\circ$. Dijagonale $\overline{AC}$ i $\overline{BD}$ sijeku se u točki $S$, pri čemu je $2|BS| = |SD| = 2d$. Iz polovišta $P$ dijagonale $\overline{AC}$ spuštena je okomica $\overline{PM}$ na dijagonalu $\overline{BD}$, a iz točke $S$ okomica $\overline{SN}$ na $\overline{PB}$.

Dokaži:

(a) $|MS| = |NS| = \dfrac{d}{2}$;

(b) $|AD| = |DC|$;

(c) $P(ABCD) = \dfrac{9d^2}{2}$.

Dano je $10$ složenih prirodnih brojeva manjih od $840$. Dokaži da među njima postoje barem dva broja koja nisu relativno prosta.