Grade 10 2014

Odredi sve parove realnih brojeva $(x,y)$ koji zadovoljavaju sustav

$$\begin{aligned} x + y^2 &= y^3, \\ y + x^2 &= x^3. \end{aligned}$$

Svaki od brojeva $x_1, x_2, \ldots, x_{2014}$ može biti $-1$, $0$ ili $1$. Koja je najmanja moguća vrijednost zbroja svih umnožaka $x_i x_j$ za $1 \leqslant i < j \leqslant 2014$?

Dokaži da ne postoje prirodni brojevi $m$ i $n$ takvi da je broj $3^m + 3^n + 1$ kvadrat nekog prirodnog broja.

Neka su $p$ i $q$ dva paralelna pravca. Kružnica $k$ dodiruje pravac $p$ u točki $A$ i siječe pravac $q$ u različitim točkama $B$ i $C$. Neka je $T$ točka na pravcu $p$ i neka dužine $\overline{TB}$ i $\overline{TC}$ sijeku kraći luk $\widehat{AC}$ redom u točkama $K$ i $L$, različitima od $B$ i $C$.

Dokaži da pravac $KL$ prolazi polovištem dužine $\overline{AT}$.

Sto kvadratnih omotnica različitih veličina raspoređeno je tako da se za svake dvije različite omotnice manja omotnica nalazi unutar veće ili su omotnice jedna izvan druge. Pritom se i u manjoj i u većoj omotnici mogu nalaziti i druge omotnice. Dva rasporeda smatramo različitima ako postoje dvije omotnice koje se u jednom rasporedu nalaze jedna unutar druge, a u drugom ne.

Koliko ima različitih rasporeda u kojima se unutar najveće omotnice nalaze sve ostale?