Grade 10 2017

Ako su $x$, $y$, $z$ i $w$ realni brojevi takvi da vrijedi

$$x^2 + y^2 + z^2 + w^2 + x + 3y + 5z + 7w = 4,$$

odredi najveću moguću vrijednost izraza $x + y + z + w$.

Unutar trokuta $ABC$ nalaze se točke $S$ i $T$. Udaljenosti točke $S$ od pravaca $AB$, $BC$ i $CA$ su redom 10, 7 i 4. Udaljenosti točke $T$ od tih pravaca su redom 4, 10 i 16.

Odredi polumjer trokutu $ABC$ upisane kružnice.

Neka su $a$ i $b$ prirodni brojevi za koje vrijedi $a > b$ i

$$a - b = 5b^2 - 4a^2.$$

Dokaži da je $a - b$ kvadrat prirodnog broja.

Dan je trokut $ABC$. Kružnica $k$ izvana dodiruje stranicu $\overline{BC}$ u točki $K$ te produžetke stranica $\overline{AB}$ i $\overline{AC}$ preko točaka $B$ i $C$ redom u točkama $L$ i $M$. Kružnica $s$ promjerom $\overline{BC}$ siječe dužinu $\overline{LM}$ u točkama $P$ i $Q$ tako da točka $P$ leži između $L$ i $Q$.

Dokaži da se pravci $BP$ i $CQ$ sijeku u središtu kružnice $k$.

U jednom gradu je $M$ ulica i $N$ trgova, pri čemu su $M$ i $N$ prirodni brojevi takvi da je $M > N$. Svaka ulica povezuje dva trga i ne prolazi kroz druge trgove.

Gradani žele promijeniti izgled grada. Ove godine svaka će ulica biti po prvi put obojena crveno ili plavo. Dogovoreno je da se svake godine odabere jedan trg, te svim ulicama koje vode do tog trga istovremeno promijeni boja iz plave u crvenu i obratno.

Dokaži da građani mogu odabrati boje ulica tako da se nikad u budućnosti ne može dogoditi da sve ulice budu iste boje.