Grade 10 2023

Odredi polumjer osnovke stošca čija je izvodnica duljine 1, tako da razlika površina njegovog plašta i njegove osnovke bude maksimalna.

Odredi, ako postoje, racionalne brojeve $a$ i $b$ tako da jedno rješenje kvadratne jednadžbe $x^2 + ax + b = 0$ bude $\sqrt{3 + \sqrt{8}}$.

Manda je, za odabrani prirodni broj $n > 3$, izradila sve stranice i sve dijagonale pravilnog $n$-terokuta od tankog pruća. Zatim je Ivan tih $\frac{1}{2}n(n - 1)$ štapova podijelio u grupe po tri štapa tako da se od svake grupe može napraviti trokut.

Za koje je brojeve $n$ to moguće?

Simetrala kuta $\measuredangle ACB$ siječe stranicu $\overline{AB}$ trokuta $ABC$ u točki $K$, a opisanu kružnicu u točki $L$ ($L$ je različito od $C$). Neka je $I$ središte upisane kružnice trokuta $ABC$, a $S$ središte opisane kružnice trokuta $IKB$. Neka je $P$ sjecište pravca $SL$ i stranice $\overline{AB}$. Dokaži da je pravac $SK$ tangenta kružnice opisane trokutu $KLP$.

Postoji li skup od 100 prirodnih brojeva takav da za svaka četiri elementa tog skupa njihov umnožak dijeli zbroj njihovih četvrtih potencija?