Grade 10 2025

Odredi sve uređene trojke realnih brojeva $(x,y,z)$ koje su rješenja sustava jednadžba $$\begin{aligned} xy + 1 &= 2z \\ yz + 1 &= 2x \\ zx + 1 &= 2y. \end{aligned}$$

U stožac osnovke polumjera 1 i visine duljine $2\sqrt{2}$ upisan je kvadar takav da jedna strana kvadra pripada osnovki stošca, a vrhovi suprotne strane pripadaju plaštu stošca.

Ako je strana kvadra koja pripada osnovki stošca kvadrat, koliko je najveće oplošje koje takav kvadar može imati?

Odredi sve uređene parove prirodnih brojeva $(k,n)$ takve da vrijedi $$7 \cdot n^n - n^3 = (n + 8)^k.$$

Neka je $M$ točka unutar trokuta $ABC$ na simetrali kuta $\measuredangle BAC$. Pravci $AM$, $BM$ i $CM$ ponovo sijeku opisanu kružnicu trokuta $ABC$ redom u točkama $A_1$, $B_1$ i $C_1$. Neka je $P$ sjecište dužina $\overline{A_1C_1}$ i $\overline{AB}$ te $Q$ sjecište dužina $\overline{A_1B_1}$ i $\overline{AC}$.

Dokaži da su pravci $PQ$ i $BC$ paralelni.

U svako polje pravokutne ploče s 3 stupca i 14 redaka upisan je simbol $X$ ili $O$. Za ploču kažemo da je balansirana ako su zadovoljeni sljedeći uvjeti:

• svaki $3 \times 3$ kvadrat sadržava najviše 5 simbola $X$ i najviše 5 simbola $O$
• u svakom $3 \times 3$ kvadrati nijedna dijagonala ni redak ni stupac ne sadržavaju tri ista simbola.

Za balansiranu ploču $P$, centar od $P$ je ploča s 3 stupca i 12 redaka dobivena uklanjanjem prvoga i posljednjega retka iz $P$.

Među svim balansiranim pločama koliko postoji različitih centara?