Grade 11 2001

U ravnini su dane dvije različite točke $O$ i $P$. Odaberimo paralelogram $ABCD$ kojem je točka $O$ središte. Označimo s $M$ i $N$ redom polovišta dužina $\overline{AP}$ i $\overline{BP}$. Točka $Q$ je presjek dužina $\overline{MC}$ i $\overline{ND}$. Dokažite da točke $O$, $Q$ i $P$ leže na istom pravcu i da točka $Q$ ne ovisi o izboru paralelograma $ABCD$.

Dan je trokut $ABC$ takav da je $|AC| \neq |BC|$. Neka je $M$ polovište stranice $\overline{AB}$, $\alpha = \measuredangle BAC$, $\beta = \measuredangle ABC$, $\varphi = \measuredangle ACM$, $\psi = \measuredangle BCM$. Dokažite da je $$\frac{\sin \alpha \sin \beta}{\sin(\alpha - \beta)} = \frac{\sin \varphi \sin \psi}{\sin(\varphi - \psi)}.$$

Na ploči su napisani brojevi $1$, $\dfrac{1}{2}$, $\dfrac{1}{3}$, $\ldots$, $\dfrac{1}{2001}$. Učenik odabira dva broja s ploče, recimo $x$ i $y$, te izračuna broj $x + y + xy$, rezultat zapiše na ploču, a $x$ i $y$ obriše. Odredite broj koji će ostati na ploči nakon što ovaj postupak obavi $2000$ puta.

Skup $S$ sadrži $100$ prirodnih brojeva, od kojih je svaki manji od $200$. Pokažite da postoji neprazan podskup $T$ od $S$ takav da je produkt brojeva iz $T$ potpuni kvadrat.