Grade 11 2006

Duljine stranica trokuta su $a$, $b$ i $c = \dfrac{a^2 - b^2}{\sqrt{a^2 + b^2}}$, $a > b$. Dokaži da za kutove $\alpha$ i $\beta$, nasuprotne stranicama $a$ i $b$, vrijedi $\alpha - \beta = 90°$.

U jednakokračnom trokutu $ABC$ s krakovima $\overline{AB}$ i $\overline{AC}$, $D$ je polovište osnovice $\overline{BC}$. Neka je točka $E$ nožište okomice iz $D$ na stranicu $\overline{AB}$, te $F$ polovište dužine $\overline{DE}$. Dokaži da je $AF$ okomito na $EC$.

Kružnice $\mathcal{C}_1$ i $\mathcal{C}_2$ sijeku se u točkama $A$ i $B$. Tangenta kružnice $\mathcal{C}_2$ povučena iz točke $A$ siječe kružnicu $\mathcal{C}_1$ u točki $C$, a tangenta kružnice $\mathcal{C}_1$ povučena iz točke $A$ siječe kružnicu $\mathcal{C}_2$ u točki $D$. Polupravac kroz točku $A$, koji leži unutar kuta $\measuredangle CAD$, siječe kružnicu $\mathcal{C}_1$ u točki $M$, kružnicu $\mathcal{C}_2$ u točki $N$ i kružnicu opisanu trokutu $ACD$ u točki $P$. Dokaži da je udaljenost točaka $A$ i $M$ jednaka udaljenosti točaka $N$ i $P$.

Šest otoka povezano je linijama jednog trajektnog i jednog hidrogliserskog poduzeća. Svaka dva otoka povezana su (u oba smjera) linijom točno jednog od ova dva poduzeća. Dokaži da je moguće ciklički posjetiti četiri otoka koristeći linije samo jednog poduzeća (tj. da postoje četiri otoka $A$, $B$, $C$ i $D$ i poduzeće čiji brodovi plove na linijama $A \leftrightarrow B$, $B \leftrightarrow C$, $C \leftrightarrow D$, $D \leftrightarrow A$).