Grade 11 2008

Duljine stranica trokuta su tri uzastopna prirodna broja, a jedan od kutova trokuta je dvaput veći od jednog od preostalih dvaju kutova. Odredi duljine stranica trokuta.

Neka su $x_1$, $x_2$, ..., $x_{n-1}$, $x_n$ pozitivni realni brojevi takvi da je $\sum_{i=1}^{n} x_i = 1$. Dokaži nejednakost

$$\frac{x_1^2}{x_1 + x_2} + \frac{x_2^2}{x_2 + x_3} + \ldots + \frac{x_{n-1}^2}{x_{n-1} + x_n} + \frac{x_n^2}{x_n + x_1} \geq \frac{1}{2}.$$

Od svih brojeva oblika $36^m - 5^n$, gdje su $m$ i $n$ prirodni brojevi, odredi najmanji po apsolutnoj vrijednosti.

Bočni brid pravilne trostrane piramide je $b = 1$, a njezin obujam je $V = \dfrac{1}{6}$. Koliki je kut pri vrhu bočne strane?

Dan je $n \times p$ pravokutnik podijeljen na $np$ jediničnih kvadratića. Na početku je $m$ kvadratića crnih, a svi ostali su bijeli. Dozvoljena je sljedeća operacija: bijeli kvadratić koji ima zajednički brid s barem dva crna kvadratića, može postati crni. Nađi najmanji mogući $m$ takav da postoji polazna pozicija iz koje, primjenom ovih operacija, mogu svi kvadratići postati crni.