Grade 11 2009

Odredi sve prirodne brojeve $m$ i $n$ za koje je $6^m + 2^n + 2$ potpun kvadrat.

Neka je $ABC$ trokut u kojem vrijedi $|AC| > |BC|$. Izrazi površinu trokuta određenog stranicom $\overline{AB}$, simetralom stranice $\overline{AB}$ i simetralom kuta $\measuredangle ACB$ pomoću duljina stranica trokuta $ABC$.

Neka je $ABC$ trokut sa stranicama duljina $a$, $b$ i $c$ i neka je $P$ točka u njegovoj unutrašnjosti. Neka pravac $AP$ ponovno siječe kružnicu opisanu trokutu $BCP$ u točki $A'$ i neka su $B'$ i $C'$ točke definirane analogno. Dokaži da za opseg $O$ šesterokuta $AB'CA'BC'$ vrijedi $$O \geq 2(\sqrt{ab} + \sqrt{bc} + \sqrt{ca}).$$

Neka je $n \in \mathbb{N}$ te $a_1, a_2, \ldots, a_n$ pozitivni realni brojevi za koje vrijedi $$a_1 + a_2 + \ldots + a_n = \frac{1}{a_1^2} + \frac{1}{a_2^2} + \ldots + \frac{1}{a_n^2}.$$

Dokaži da za svaki $m \in \{1, 2, \ldots, n\}$ postoji $m$ brojeva iz skupa $\{a_1, a_2, \ldots, a_n\}$ čiji je zbroj barem $m$.

U jednom vrhu kocke nalaze se dva pauka, a u suprotnom vrhu muha. Pauci i muha kreću se isključivo po bridovima kocke jednakim konstantnim brzinama. U svakom trenutku paucima je poznata pozicija muhe i muhi je poznata pozicija pauka. Dokaži da pauci mogu uhvatiti muhu. Smatra se da je muha uhvaćena ako se nađe u istoj točki kao i jedan od paukova.