Grade 11 2017

Odredi najveću moguću vrijednost koju može poprimiti izraz

$$\sin x \sin y \sin z + \cos x \cos y \cos z$$

za neke realne brojeve $x$, $y$ i $z$.

Neka su $a$ i $b$ prirodni brojevi različite parnosti. Dokaži da broj $(a + 3b)(5a + 7b)$ nije kvadrat prirodnog broja.

Odredi sve polinome $P$ s realnim koeficijentima takve da za sve realne brojeve $x$ vrijedi

$$P(x^2) + 2P(x) = (P(x))^2 + 2.$$

Dan je šiljastokutni trokut $ABC$ s visinama $\overline{AD}$, $\overline{BE}$ i $\overline{CF}$ te ortocentrom $H$. Dužine $\overline{EF}$ i $\overline{AD}$ sijeku se u točki $G$. Dužina $\overline{AK}$ je promjer kružnice opisane trokutu $ABC$ i siječe stranicu $\overline{BC}$ u točki $M$. Dokaži da su pravci $GM$ i $HK$ paralelni.

Neka je $C$ prirodni broj manji od 2017. Točno $C$ vrhova pravilnog 2017-erokuta je crveno, a svi ostali vrhovi su plavi. Dokaži da broj jednakokračnih trokuta čija su sva tri vrha iste boje ne ovisi o rasporedu crvenih i plavih vrhova.