Grade 12 1996

Postoji li rješenje jednadžbe $$[x] + [2x] + [4x] + [8x] + [16x] + [32x] = 12345?$$

($[x]$ je oznaka za najveći cijeli broj koji nije veći od $x$.)

Za koje vrijednosti $\lambda_1$, $\lambda_2 \in \mathbb{R}$ su sva rješenja jednadžbe $$(x + i\lambda_1)^n + (x + i\lambda_2)^n = 0$$ realna? Odredite ta rješenja.

Odredite funkcije $f: \mathbb{R} \longrightarrow \mathbb{R}$, neprekidne u nuli, koje zadovoljavaju ovu relaciju $$f(x) - 2f(tx) + f(t^2x) = x^2, \quad \text{za svako } x \in \mathbb{R},$$ gdje je $t \in (0,1)$ dani fiksan broj.

Neka su $\alpha$ i $\beta$ pozitivni iracionalni brojevi i $\frac{1}{\alpha} + \frac{1}{\beta} = 1$, te $A = \{[n\alpha]|n \in \mathbb{N}\}$ i $B = \{[n\beta]|n \in \mathbb{N}\}$. Dokažite da je tada $A \cup B = \mathbb{N}$ i $A \cap B = \emptyset$.

Naputak: Možete dokazati ekvivalentnu tvrdnju: Za funkciju $\pi : \mathbb{N} \longrightarrow \mathbb{N}$ defini-ranu sa $$\pi(m) = \operatorname{Card}\{k \mid k \in \mathbb{N}, k \leq m, k \in A\} + \operatorname{Card}\{k \mid k \in \mathbb{N}, k \leq m, k \in B\}$$ vrijedi $\pi(m) = m$, $\forall m \in \mathbb{N}$.