Grade 12 1996 Problem 4

Neka su $\alpha$ i $\beta$ pozitivni iracionalni brojevi i $\frac{1}{\alpha} + \frac{1}{\beta} = 1$, te $A = \{[n\alpha]|n \in \mathbb{N}\}$ i $B = \{[n\beta]|n \in \mathbb{N}\}$. Dokažite da je tada $A \cup B = \mathbb{N}$ i $A \cap B = \emptyset$.

Naputak: Možete dokazati ekvivalentnu tvrdnju: Za funkciju $\pi : \mathbb{N} \longrightarrow \mathbb{N}$ defini-ranu sa $$\pi(m) = \operatorname{Card}\{k \mid k \in \mathbb{N}, k \leq m, k \in A\} + \operatorname{Card}\{k \mid k \in \mathbb{N}, k \leq m, k \in B\}$$ vrijedi $\pi(m) = m$, $\forall m \in \mathbb{N}$.