Grade 12 2011

Dokaži da je za svaki $k \in \mathbb{N}_0$ moguće odabrati $4 \cdot 2^k$ različitih prirodnih brojeva koji nisu veći od $5 \cdot 3^k$, tako da među njima ne postoje tri uzastopna člana aritmetičkog niza.

Odredi sve funkcije $f: \mathbb{R} \to \mathbb{R}$ takve da za sve $x, y \in \mathbb{R}$ vrijedi:

$$f(x^2 + f(y)) = y - x^2.$$

Na koliko načina se broj $\dfrac{2011}{2010}$ može prikazati kao umnožak dvaju razlomaka oblika $\dfrac{n + 1}{n}$, gdje je $n$ prirodan broj? Poredak faktora nije bitan.

Upisana kružnica šiljastokutnog trokuta $ABC$ dodiruje stranice $\overline{BC}$, $\overline{CA}$ i $\overline{AB}$ redom u točkama $D$, $E$ i $F$. Središte te kružnice je točka $S$, a pravac $DS$ siječe dužinu $\overline{EF}$ u točki $P$. Ako je $M$ polovište stranice $\overline{BC}$, dokaži da su točke $A$, $P$ i $M$ kolinearne.

Neka je $P_1, P_2, \ldots, P_{2n}$ permutacija vrhova pravilnog $2n$-terokuta. Dokaži da zatvorena poligonalna linija koja se sastoji od dužina

$$\overline{P_1P_2}, \overline{P_2P_3}, \ldots, \overline{P_{2n-1}P_{2n}}, \overline{P_{2n}P_1}$$

sadrži barem jedan par paralelnih dužina.