Grade 12 2012

a) Neka su $x$ i $y$ realni brojevi takvi da su $x + y$, $x^2 + y^2$ i $x^4 + y^4$ cijeli brojevi. Dokaži da je broj $x^n + y^n$ cijeli za svaki prirodni broj $n$.

b) Nađi primjer realnih brojeva $x$ i $y$ koji nisu cijeli, takvih da su $x + y$, $x^2 + y^2$ i $x^4 + y^4$ cijeli brojevi.

c) Nađi primjer realnih brojeva $x$ i $y$ koji nisu cijeli, takvih da su $x + y$, $x^2 + y^2$ i $x^3 + y^3$ cijeli, ali $x^4 + y^4$ nije cijeli broj.

Neka su $p_1$ i $q_1$ cijeli brojevi takvi da jednadžba $x^2 + p_1x + q_1 = 0$ ima dva cjelobrojna rješenja. Za svaki $n \in \mathbb{N}$ definiramo brojeve $p_{n+1}$ i $q_{n+1}$ formulama $$p_{n+1} = p_n + 1, \quad q_{n+1} = q_n + \frac{1}{2} p_n.$$

Dokaži da postoji beskonačno mnogo prirodnih brojeva $n$ za koje jednadžba $x^2 + p_nx + q_n = 0$ ima dva cjelobrojna rješenja.

Dan je trokut s ortocentrom $H$ i središtem opisane kružnice $O$. Ako je mjera jednog kuta trokuta $60^\circ$, dokaži da je simetrala tog kuta okomita na pravac $OH$.

Neka su $n$ i $d$ prirodni brojevi takvi da $d$ dijeli $2n^2$. Dokaži da broj $n^2 + d$ nije potpun kvadrat.

Za dva polja tablice $10 \times 10$ kažemo da su prijateljska ako imaju barem jedan zajednički vrh. U svako polje tablice upisan je po jedan prirodni broj manji ili jednak $10$, tako da su brojevi u prijateljskim poljima relativno prosti. Dokaži da postoji broj koji se pojavljuje u toj tablici barem $17$ puta.