Grade 12 2016

Odredi sve funkcije $f: \mathbb{R} \to \mathbb{R}$ takve da za sve $x, y \in \mathbb{R}$ vrijedi $$f(xy + 1) = f(x)f(y) - f(y) - x + 2.$$

U jednom retku redom su napisani brojevi $1, 2, \dots, 2016$. U svakom idućem retku napisani su redom zbrojevi dvaju susjednih brojeva. Npr. u drugom retku su napisani brojevi $3, 5, \dots, 4031$. U zadnjem retku je samo jedan broj. Koji je to broj?

U konveksnom četverokutu $ABCD$ vrijedi $$\measuredangle BAC = 48°, \quad \measuredangle CAD = 66°, \quad \measuredangle CBD = \measuredangle DBA.$$ Odredi kut $\measuredangle BDC$.

Nađi sve trojke prirodnih brojeva $(m, n, k)$ takve da vrijedi $3^m + 7^n = k^2$.

U utrci sudjeluje 200 biciklista. Na početku utrke biciklisti su poredani jedan iza drugoga. Kažemo da neki biciklist pretječe ako mijenja mjesto s biciklistom neposredno ispred sebe. Tijekom utrke poredak se mijenja samo kad neki biciklist pretječe.

Neka je $A$ broj svih mogućih poredaka na kraju utrke u kojoj je svaki biciklist pretjecao točno jednom, te neka je $B$ broj svih mogućih poredaka na kraju utrke u kojoj je svaki biciklist pretjecao najviše jednom. Dokaži da vrijedi $$2A = B.$$