Grade 9 2025 - Školjka

Problem 1

Odredite sve dvoznamenkaste prirodne brojeve za koje vrijedi da su točno tri puta veći od umnoška svojih znamenaka.

Problem 2

Neka su $a$ i $b$ pozitivni realni brojevi koji zadovoljavaju sljedeće uvjete:

$a^2 + b^2 = 10 \quad \text{i} \quad a^4 + b^4 = 82.$

Odredite vrijednost izraza $\dfrac{1}{a^3} + \dfrac{1}{b^3}$ .

Problem 3

Dokažite da je broj $2030^{12} - 2020^{12}$ djeljiv s brojem $2025$ .

Problem 4

Jedan kut pravokutnog trokuta $\Delta ABC$ iznosi $30^\circ$ , a kraća kateta duljine je $3$ cm. U polovištu $S$ hipotenuze $\overline{AB}$ podignuta je okomica na hipotenuzu i njezino sjecište s duljom katetom označeno je s $D$ . Odredite duljinu dužine $\overline{SD}$ .

Problem 5

Odredite zadnju znamenku zbroja $1 + 2^1 + 2^2 + 2^3 + \cdots + 2^{2025}$ .

Problem 6

Koliko ima brojeva u skupu $S = \{1,2,\ldots,300\}$ koji nisu djeljivi ni s jednim od brojeva $3$ , $5$ i $7$ ?

Problem 7

Lukin broj pratitelja na društvenoj mreži svake godine raste za $50$ , dok Markov broj pratitelja raste za $20$ . Trenutačno Luka ima tri puta više pratitelja nego što je Marko imao u trenutku kada je Lukin broj pratitelja bio jednak trenutačnom broju Markovih pratitelja. Pretpostavlja se da će Marku trebati $5$ godina da dostigne trenutačan broj Lukinih pratitelja. Koliko pratitelja Luka i Marko imaju trenutačno?