Grade 10 2022

Koliko je cijelih brojeva $n$ za koje nejednakost $x^2 + nx + 100 > 0$ vrijedi za sve realne brojeve $x$?

U skupu realnih brojeva riješi jednadžbu $\sqrt{9 - 5x} - \sqrt{3 - x} = \dfrac{6}{\sqrt{3 - x}}$.

Sir se nalazi u točki $(13,13)$, a miš trči pravocrtno od točke $(4, -2)$ do točke $(-1, 23)$. U kojoj se točki miš nalazi najbliže siru?

Pet strana drvene kocke obojano je plavom bojom dok je jedna strana neobojana. Kocka je potom razrezana na sukladne manje kockice od kojih $649$ ima točno jednu plavu stranu. Koliko je manjih kockica koje imaju točno dvije plave strane?

Dan je kvadrat $ABCD$. Neka je $E$ točka na polupravcu $AB$ takva da je $\measuredangle AED = 27°$. Dužine $AC$ i $DE$ sijeku se u točki $S$. Odredi mjeru kuta $\measuredangle BSE$.

Neka su $a$ i $b$ prirodni brojevi takvi da je $a < b$ i neka je $S = \{a^2, a^2 + 1, a^2 + 2, \ldots, b^2\}$. Odredi sve parove brojeva $a$ i $b$ za koje je među elementima skupa $S$ točno $1\%$ kvadrata prirodnih brojeva.

Kvadratna jednadžba $x^2 + bx + c = 0$ ima realna rješenja čiji je zbroj kvadrata jednak $2$. Odredi sve moguće vrijednosti izraza $b + c$.