Grade 10 2023

Neka su $x_1$ i $x_2$ različita rješenja jednadžbe $x^2 + 5x + 3 = 0$. Izračunaj $\dfrac{x_1^3 x_2 + x_1 x_2^3}{x_1 + x_2}$.

Odredi sve vrijednosti parametra $p \in \mathbb{R}$ za koje su sva rješenja jednadžbe $x^2 + px + 2023 = 0$ cijeli brojevi.

Neka su $p$ i $q$ prosti brojevi takvi da su $p + q + 4$ i $pq - 12$ također prosti brojevi. Odredi $p + q$.

Dan je trokut $ABC$. Neka je $M$ polovište stranice $\overline{AB}$ i $H$ ortocentar tog trokuta. Ako je $|HM| = \frac{1}{2}|AB|$, dokaži da je trokut $ABC$ pravokutan.

Neka je $x$ realan broj različit od $-1$ i $1$. Dokaži da vrijedi $$x^2 + \frac{1}{(x - 1)^2} + \frac{1}{(x + 1)^2} \geq 2.$$

Odredi sve uređene trojke cijelih brojeva $(a, b, c)$ za koje vrijedi $$\begin{cases} a^2 - 2ab + c^2 = ac - 13 \\ b^2 + ac = 23 \end{cases}$$

Na ploči dimenzija $100 \times 100$ nalaze se dvije figure – u gornjem lijevom polju je kralj, a u gornjem desnom skakač. Figure se naizmjenično pomiču, a kralj kreće prvi. Obje figure se kreću kao u šahu: skakač se s polja označenog kružićem može pomaknuti na jedno od osam polja označenih križićima (ako je to polje na ploči), dok se kralj u svom potezu pomiče na jedno od (najviše) osam susjednih polja. Može li kralj sigurno doći do donjeg desnog polja ploče, a da ga skakač pritom ne ulovi?