Grade 11 2021

Ako je $2\sin x - 3\cos y = a$ i $2\cos x + 3\sin y = b$, koliko je $\sin(x - y)$?

Ako za pozitivne realne brojeve $x$, $y$ i $z$ vrijedi $$4^{x+y} = z, \quad z^{1/x} \cdot z^{1/y} = 1024,$$ odredi vrijednost izraza $\dfrac{x}{y} + \dfrac{y}{x}$.

Sve točke prostora čija udaljenost od dužine $\overline{AB}$ iznosi najviše $3$ čine tijelo obujma $216\pi$. Odredi duljinu dužine $\overline{AB}$.

Polja ploče dimenzija $300 \times 300$ iste su veličine kao i $14$ kvadratića od kojih se sastoji lik prikazan na slici. Koliko je najviše takvih likova moguće postaviti na tu ploču bez preklapanja? Likove se može rotirati i prevrtati.

Koliko ima četveroznamenkastih brojeva djeljivih sa $7$ čiji dekadski zapis ne sadrži znamenke $1$, $2$ ni $7$?

Točka $M$ je polovište stranice $\overline{AB}$, a $T$ težište trokuta $ABC$. Ako je $AMT$ jednakostranični trokut stranice duljine $1$, odredi duljine stranica trokuta $ABC$.

Odredi sve parove $(a, b)$ prirodnih brojeva za koje vrijedi $$a^b - b^a + 2^a = 17a^4 - 2b^2 + 52.$$