Grade 11 2025

Neka su $a$ i $b$ znamenke za koje vrijedi

$$\overline{aaa} + \overline{aab} + \overline{abb} + \overline{bbb} = 1503.$$

Koliko je tada $a^b + b^a$?

Ako je $\cos \alpha = \tan \alpha$, koliko je $\frac{1}{\sin \alpha} + \cos^4 \alpha$?

Dan je valjak s visinom duljine $10$ cm. Na obodima njegovih osnovki su točke $A$ i $B$ takve da je $\overline{AB}$ paralelno s osi valjka. Spojimo li točke $A$ i $B$ najkraćom linijom koja jednom obilazi oko valjka po plaštu, njezina će duljina biti $15$ cm. Kolika je duljina najkraće linije koja dva puta obilazi oko valjka i spaja točke $A$ i $B$?

Riješite jednadžbu

$$\log_{2x+7}(4 + 12x + 9x^2) + \log_{3x+2}(6x^2 + 25x + 14) = 4$$

u skupu realnih brojeva.

Može li se broj

$$\sqrt{104\sqrt{6} + 468\sqrt{10} + 144\sqrt{15} + 2025}$$

zapisati u obliku $a\sqrt{2} + b\sqrt{3} + c\sqrt{5}$ za neke prirodne brojeve $a$, $b$ i $c$?

Riješite jednadžbu

$$2^x = 3^y + 1$$

u skupu cijelih brojeva.

Odredite sve moguće vrijednosti prostog broja $p \geq 5$ za koje postoji barem jedan par prirodnih brojeva $(x, y)$ koji je rješenje jednadžbe

$$\frac{16}{x} + \frac{25}{y} = p.$$