Grade 12 2020

Odredi argument kompleksnog broja $z$ ako vrijedi

$$\mathrm{Re} \frac{1}{z} = \mathrm{Im} \frac{1}{z} = 2020.$$

Zadan je niz $(a_n)$ takav da je $a_0 = 1$, $a_1 = 4$ i

$$a_n = 3a_{n-1} + 4a_{n-2},$$

za svaki prirodni broj $n \geqslant 2$.

Dokaži da su svi članovi niza $(a_n)$ kvadrati prirodnih brojeva.

Igrača kockica bačena je triput zaredom. Odredi vjerojatnost da je pri svakom bacanju (nakon prvog) pao broj koji nije manji od prethodnog.

Odredi skup svih vrijednosti koje postiže funkcija $f\colon \mathbb{R} \to \mathbb{R}$

$$f(x) = \frac{2020x}{x^2 + x + 1}.$$

Odredi zbroj svih prirodnih brojeva $n$ manjih od $1000$ za koje je $2^n + 1$ djeljivo s $11$.

Odredi točke $A$ i $B$ na paraboli $y^2 = x$ tako da točka $(2,1)$ pripada dužini $\overline{AB}$, a da polovište dužine $\overline{AB}$ bude što je moguće bliže osi $y$.

Odredi sve prirodne brojeve $n$ koji imaju točno $12$ pozitivnih djelitelja

$$1 = d_1 < d_2 < \cdots < d_{12} = n$$

za koje vrijedi $d_4 = 5$ i $d_5^2 + 1 = d_7$.