Grade 12 2023

Odredi sve kompleksne brojeve $z$ za koje je $$|z + 1| = |4 - \bar{z}| \quad \text{i} \quad \operatorname{Im} \left(\frac{z}{5 + i}\right) = \frac{1}{13}.$$

Dokaži da je za svaki prirodan broj $n$ broj $$13^{n+1} + 14^{2n-1}$$ djeljiv sa $183$.

Dokaži da je $$\left(\sqrt{20} + \sqrt{23}\right)^{2024} + \frac{3^{2024}}{\left(\sqrt{20} + \sqrt{23}\right)^{2024}}$$ prirodan broj.

Članovi niza $x_1, x_2, x_3, \ldots$ dobiveni su množenjem odgovarajućih članova dvaju aritmetičkih nizova. Prva tri člana tako nastalog niza su $x_1 = 1440$, $x_2 = 1716$ i $x_3 = 1848$. Odredi osmi član tog niza.

U nekoj školi učenici mogu učiti dva klasična jezika: latinski i grčki. Od $100$ učenika, njih $50$ uči latinski, $40$ grčki, a $20$ ih uči oba jezika. Ako slučajno odaberemo dva učenika, kolika je vjerojatnost da barem jedan od njih uči latinski i barem jedan od njih uči grčki?

U trokut $ABC$ površine $1$ upisan je pravokutnik $PQRS$ tako da točke $P$ i $Q$ leže na stranici $\overline{AB}$, točka $R$ na stranici $\overline{BC}$ i točka $S$ na stranici $\overline{AC}$. Odredi najveći mogući iznos površine pravokutnika $PQRS$.

Odredi sve uređene trojke $(x, y, p)$ gdje je $p$ prost, a $x$ i $y$ prirodni brojevi za koje vrijedi $$p^x - 1 = y^3.$$