Grade 9 2018

Marko je nacrtao pravokutnik s dvije plave stranice duljine $24$ i dvije crvene stranice duljine $36$. Svaku točku unutar pravokutnika je obojio bojom stranice koja je najbliža toj točki. Točke koje su jednako udaljene od plave i crvene stranice je obojio crno. Odredi površinu crvenog dijela pravokutnika.

Odredi sve parove cijelih brojeva $(m,n)$ takve da je

$$n^2 - 6n = m^2 + m - 10.$$

Neka su $a$, $b$ i $c$ različiti pozitivni realni brojevi takvi da je $(a + b - c)(b + c - a)(c + a - b) \neq 0$. Dokaži da barem jedan od brojeva

$$\frac{a + b}{a + b - c}, \quad \frac{b + c}{b + c - a}, \quad \frac{c + a}{c + a - b}$$

pripada intervalu $\langle 1,2\rangle$ i da barem jedan od tih brojeva ne pripada tom intervalu.

Neka je $D$ nožište visine iz vrha $C$ jednakokračnog trokuta $ABC$ s osnovicom $\overline{AB}$. Točka $M$ je polovište dužine $\overline{CD}$. Pravci $BM$ i $AC$ sijeku se u točki $E$.

Odredi omjer $|CE|: |AC|$.

Dano je $599$ žutih i $301$ plava kuglica. Može li se te kuglice poredati u niz tako da je broj kuglica između bilo koje dvije plave kuglice različit od $2$ i od $5$?