Grade 9 2020

U ovisnosti o realnom parametru $m$ odredi za koje realne brojeve $x$ vrijedi

$$\frac{x - m}{x^2} + x \geqslant 2 \left(1 - \frac{m}{x}\right) + m.$$

Odredi sve uređene trojke $(a, b, c)$ prirodnih brojeva za koje vrijedi $a \leqslant b \leqslant c$ i

$$\frac{3}{7} = \frac{1}{a} + \frac{1}{ab} + \frac{1}{abc}.$$

Neka su $x$, $y$ i $z$ različiti realni brojevi od kojih nijedan nije jednak nuli, takvi da vrijedi

$$x + \frac{1}{y} = y + \frac{1}{z} = z + \frac{1}{x}.$$

Odredi vrijednost izraza $x^2 y^2 z^2$.

Nad stranicom $\overline{BC}$ kvadrata $ABCD$ nacrtan je jednakostraničan trokut $BEC$ tako da je točka $E$ izvan kvadrata. Točke $M$ i $N$ su redom polovišta dužina $\overline{AE}$ i $\overline{CD}$.

Odredi mjeru kuta $\measuredangle MNC$.

Koliko najmanje brojeva treba ukloniti iz skupa $\{1,2,3,\ldots,2020\}$ tako da nastali skup ne sadrži umnožak svojih dvaju različitih elemenata?