Grade 9 2022

Tri traktora oru njivu. Ako prva dva traktora rade zajedno, treba im 15 dana da preoru cijelu njivu. Prvi i treći traktor preoru njivu radeći zajedno 8 dana, a sva tri traktora zajedno preoru njivu za 6 dana. Koliko dana svakom od traktora treba da samostalno preore cijelu njivu?

Odredi sve cijele brojeve $x, y, z$ za koje vrijede jednakosti $$x - yz = 1 \quad \text{i} \quad xz + y = 2.$$

Neka je $M$ polovište stranice $\overline{BC}$ paralelograma $ABCD$. Ako je $E$ nožište okomice iz točke $D$ na pravac $AM$, dokaži da vrijedi $|CD| = |CE|$.

Realni brojevi $a$, $b$ i $c$ različiti su od nule i zadovoljavaju jednakosti $$a^2 + a = b^2,$$ $$b^2 + b = c^2,$$ $$c^2 + c = a^2.$$ Dokaži da vrijedi $(a - b)(b - c)(c - a) = 1$.

U nekom je razredu trideset i troje učenika. Svaki učenik je na ploču napisao dva broja: koliko još učenika osim njega u razredu ima isto ime kao on, te koliko još učenika osim njega u razredu ima isto prezime kao on.

Ako se svaki od brojeva $0, 1, 2, \ldots, 10$ pojavljuje na ploči barem jednom, dokaži da u razredu postoji barem jedan par učenika istog imena i prezimena.