Grade 9 2024

Odredi sve uređene parove cijelih brojeva $(x, y)$ za koje vrijedi $$x^2 y + 4x^2 - 3y = 51.$$

Na ploči su bili napisani svi prirodni brojevi od 1 do nekog broja. Nakon što je jedan od brojeva obrisan, aritmetička sredina preostalih brojeva na ploči iznosi $\dfrac{673}{18}$. Koji je broj obrisan?

Biljarski stol ima oblik pravokutnika $ABCD$ i dimenzije $|AB| = 2\,\mathrm{m}$ i $|BC| = 1\,\mathrm{m}$. Biljarska kugla giba se po stolu pravocrtno dok ne dođe do ruba pravokutnika, a tada se odbija tako da putanja kugle prije i poslije odbijanja zatvara s rubom sukladne kutove. Ako biljarska kugla započne gibanje u točki $A$ te nakon odbijanja od stranica $\overline{CD}$, $\overline{BC}$ i $\overline{AB}$ redom završi gibanje u točki $D$, odredi ukupnu udaljenost koju je kugla prešla. Kuglu promatramo kao materijalnu točku.

Ako za realne brojeve $a, b, c$ vrijedi $(a + b + c)^3 = a^3 + b^3 + c^3$, dokaži da je $$(a + b)^2 ab + (b + c)^2 bc + (c + a)^2 ca + 4abc(a + b + c) = 0.$$

Dokaži da među bilo kojih pet vrhova pravilnog deveterokuta postoje četiri koja su vrhovi trapeza.