Grade 10 2020

Odredi sve uređene trojke $(x,y,z)$ realnih brojeva za koje vrijedi

$$x ^ {2} + y ^ {2} = 5, \qquad x z + y = 7, \qquad y z - x = 1.$$

Odredi sve uređene parove $(a,b)$ prirodnih brojeva takve da je $V(a,b) - D(a,b) = \dfrac{ab}{5}$.

Odredi sve realne brojeve $x$ za koje vrijedi

$$3 \sqrt [ 3 ]{(14 - x) ^ {2}} - 2 \sqrt [ 3 ]{(14 + x) ^ {2}} = 5 \sqrt [ 3 ]{x ^ {2} - 196}.$$

Neka je $T$ težište trokuta $ABC$, a $P$ polovište stranice $\overline{AC}$. Pravac kroz točku $T$ paralelan s pravcem $BC$ siječe stranicu $\overline{AB}$ u točki $E$.

Dokaži da jednakost $\measuredangle AEC = \measuredangle PTC$ vrijedi ako i samo ako vrijedi $\measuredangle ACB = 90^{\circ}$.

Neka je $n > 1$ prirodni broj. Na koliko se načina u polja ploče dimenzija $2 \times n$ mogu upisati brojevi $1,2,\ldots,2n$ tako da uzastopni brojevi budu u poljima sa zajedničkom stranicom?