Grade 10 2023

U ovisnosti o parametru $a \in \mathbb{R}$, odredi sliku funkcije $f(x) = \dfrac{2023}{x^2 - a^2 - x - a}$.

Jednadžba $$(x^2 + ax + b)(x^2 + ax + c) = 0$$ ima četiri različita realna rješenja i to su $a$, $b$, $c$ i $-1$. Odredi brojeve $a$, $b$ i $c$.

Odredi sve uređene trojke $(m,n,p)$ gdje su $m$ i $n$ prirodni brojevi, a $p$ prost za koje vrijedi $$25^n + 2 \cdot 5^n = p^m + 8.$$

Unutar paralelograma $ABCD$ odabrana je točka $T$ tako da vrijedi $|TC| = |BC|$. Neka su $P$ i $M$ redom polovišta dužina $\overline{CD}$ i $\overline{AT}$. Dokaži da je pravac $BT$ okomit na pravac $PM$.

Žaba Žana nalazi se ishodištu brojevnog pravca, te u svakom koraku skače za jedan ulijevo, za jedan udesno ili ostaje na mjestu. Lina i Dina izabrale su relativno proste brojeve $m$ i $n$, gdje je $m > n$. Nakon svakih $n$ koraka Lina zapovijeda: „Lijevo!", a nakon svakih $m$ koraka Dina zapovijeda: „Desno!" Žana miruje dok ne čuje prvu zapovijed, a nakon toga počinje (ili nastavlja) skakati u smjeru prema zapovijedi. Zaustavlja se u prvom koraku u kojem čuje obje zapovijedi. U ovisnosti o brojevima $m$ i $n$ odredi na kojoj se udaljenosti od ishodišta Žana zaustavila.