Grade 11 2019

Riješi jednadžbu

$$\cos(2x) + \cos(2y) + 2\sin x \sin y + 2\cos x \cos y = 4.$$

Četiri sfere polumjera $R$ leže na bazi stošca tako da svaka dodiruje dvije od preostalih sfera te plašt stošca. Peta sfera istog polumjera dodiruje prve četiri sfere i plašt stošca. Odredi volumen tog stošca.

Odredi sve uređene parove $(m,n)$ prirodnih brojeva za koje postoji prost broj $p$ takav da vrijedi

$$9^m + 3^m - 2 = 2p^n.$$

Unutar trokuta $ABC$ nalazi se točka $T$ takva da vrijedi $|AT| = 56$, $|BT| = 40$, $|CT| = 35$. Nožišta okomica iz točke $T$ na stranice trokuta $ABC$ vrhovi su jednakostraničnog trokuta. Odredi kut $\measuredangle ABC$.

Za par brojeva $\{a, b\}$ kažemo da ima težinu $|a - b|$. Na koliko se načina skup $\{1, 2, \ldots, 12\}$ može razdijeliti na šest parova tako da ukupan zbroj težina tih parova bude $30$?