Grade 11 2020

Duljina jedne stranice trokuta jednaka je aritmetičkoj sredini duljina drugih dviju stranica. Dokaži da mjera srednjeg (po veličini) kuta tog trokuta nije veća od $60^{\circ}$.

Odredi najmanju i najveću vrijednost izraza

$$\frac {1}{\sin^ {4} x + \cos^ {2} x} + \frac {1}{\sin^ {2} x + \cos^ {4} x}.$$

Odredi sve realne brojeve $x$ za koje se te vrijednosti postižu.

U trokutu $ABC$, kut u vrhu $C$ je tupi, a točka $D$ je nožište visine iz vrha $C$. Točke $P$ i $Q$ nalaze se na dužini $\overline{AB}$ i vrijedi $\measuredangle PCB = \measuredangle ACQ = 90^{\circ}$. Dokaži da je

$$| A P | \cdot | D Q | = | P D | \cdot | Q B |.$$

Odredi sve uređene parove $(a, b)$ prirodnih brojeva za koje je $(a + b^{2})(a^{2} + b)$ potencija broja $2$.

Baza piramide je pravilni $n$-terokut. Svaka stranica baze obojena je crnom bojom, dok su svaka dijagonala baze i svaki pobočni brid piramide obojeni ili crvenom ili plavom bojom. Odredi najmanji prirodni broj $n \geqslant 4$ za koji nužno postoji trokut čiji vrhovi su vrhovi piramide i kojemu su sve tri stranice jednake boje.