Grade 11 2026

Riješi sustav jednadžbi $$\frac {\log_ {2} x}{\log_ {x} 2} - \log_ {2} y ^ {2} = 3, \quad \frac {\log_ {2} y}{\log_ {y} 2} - \log_ {2} x ^ {2} = 3.$$

Odredi sva rješenja sustava nejednadžbi $$\begin{aligned} (\sin x + \cos y + 1)^{2} &\geqslant 2(\sin x + 1)(\cos y + 1) \\ (\sin y + \cos z + 1)^{2} &\geqslant 2(\sin y + 1)(\cos z + 1) \\ (\sin z + \cos x + 1)^{2} &\geqslant 2(\sin z + 1)(\cos x + 1) \end{aligned}$$ za koja vrijedi $0 < x, y, z < \dfrac{\pi}{2}$.

Odredi sve prirodne brojeve $n$ za koje je broj $1 + \lfloor \sqrt{n} \rfloor$ djelitelj broja $n$.

Za realni broj $t$, $\lfloor t \rfloor$ označava najveći cijeli broj koji je manji ili jednak $t$. Na primjer, $\lfloor 2 \rfloor = 2$ i $\lfloor \pi \rfloor = 3$.

U četverokutu $ABCD$ vrijedi $|\measuredangle ABC| = 90°$, $|\measuredangle BCD| = 120°$ i $|\measuredangle CDA| = 90°$. Neka je $M$ sjecište dijagonala $\overline{AC}$ i $\overline{BD}$. Ako je $|BM| = 1$ i $|MD| = 2$, odredi površinu četverokuta $ABCD$.

Neka je $n$ prirodni broj. U nekoj državi koriste se kovanice svih apoena od $1$ do $n$. Kolekcionar želi dio svojih kovanica rasporediti u pet kutija tako da budu ispunjena sljedeća četiri uvjeta:

• U svakoj je kutiji najviše jedna kovanica svakog apoena.

• U svim je kutijama isti broj kovanica i jednak iznos novca.

• Bilo koje dvije kutije zajedno sadrže barem jednu kovanicu svakog apoena.

• Kovanice niti jednog apoena ne nalaze se u svim kutijama.

Pod pretpostavkom da kolekcionar ima dovoljno kovanica svakog apoena, može li postiči svoj cilj ako je

(a) $n = 109$?

(b) $n = 110$?