Grade 12 2021 Problem 3

Neka su $x, y$ i $z$ realni brojevi takvi da je $xy + yz + zx = 1$. Neka je

$$S = \frac{x^{2}}{1 + x^{2}} + \frac{y^{2}}{1 + y^{2}} + \frac{z^{2}}{1 + z^{2}}.$$

a) Ako su $x, y$ i $z$ pozitivni brojevi, dokaži da je $S < 1$.

b) Dokaži da je $S < 1$ ako i samo ako su brojevi $x, y$ i $z$ istog predznaka.