Grade 12 2021

Odredi sve prirodne brojeve $m$ za koje je $m! + 8$ potencija nekog prostog broja.

Neka je $w = \frac{1}{2}(-1 + i\sqrt{3})$. Odredi najveći broj $n \in \mathbb{N}_0$ za koji postoje kompleksni brojevi $a, b, c$ tako da za svaki $k \in \{0,1,\ldots,n\}$ vrijedi

$$a + b w^{k} + c w^{2k} = k.$$

Za tako određeni $n$ nađi sve trojke $(a,b,c)$ koje zadovoljavaju gornje jednakosti.

Neka su $x, y$ i $z$ realni brojevi takvi da je $xy + yz + zx = 1$. Neka je

$$S = \frac{x^{2}}{1 + x^{2}} + \frac{y^{2}}{1 + y^{2}} + \frac{z^{2}}{1 + z^{2}}.$$

a) Ako su $x, y$ i $z$ pozitivni brojevi, dokaži da je $S < 1$.

b) Dokaži da je $S < 1$ ako i samo ako su brojevi $x, y$ i $z$ istog predznaka.

U nogometnom klubu je $n$ igrača koji imaju dresove s međusobno različitim brojevima od 1 do $n$. Na kraju sezone igrač s brojem 1 završava karijeru. Uprava bira jednog od ostalih igrača kojeg prodaje nekom drugom klubu, dok svih preostalih $n - 2$ igrača dobiva dresove s međusobno različitim brojevima od 1 do $n$.

Na koliko načina uprava može odabrati igrača za prodaju i preostalima dati brojeve tako da nijedan igrač nema veći broj od onog koji je imao ove sezone?

Neka je $ABC$ trokut i $O$ središte njegove opisane kružnice. Pravac $p$ okomit je na simetralu kuta $\measuredangle BAC$, prolazi polovištem stranice $\overline{BC}$ te polovištem dužine $\overline{AO}$. Odredi veličinu kuta $\measuredangle BAC$.