Croatian Mathematical Olympiad 2024 Problem 1-2

Antun i Bernarda igraju igru u kojoj naizmijence biraju uređene parove brojeva. Bernarda počinje igru i bira uređeni par $(n,1)$ za neki $n \in \mathbb{N}$. Ako je prethodni igrač odabrao uređeni par $(a,b)$, igrač na potezu bira jedan od parova $(a-b,b)$ i $(a-2b,2b)$. Igru gubi igrač koji odabere par u kojem je jedan od brojeva negativan.

Za koliko prirodnih brojeva $n < 2^{100}$ Antun može osigurati pobjedu neovisno o tome kako Bernarda igra nakon svog prvog poteza?