Croatian Mathematical Olympiad 2024

Neka je $S = \{n \in \mathbb{N} : n \geq 2024\}$.

Odredi sve funkcije $f: S \to \mathbb{N}$ takve da za sve $m, n \in S$ vrijedi

$$2m(f(m) + f(n)) = \sum_{k=0}^{f(m)} f(n + k).$$

Antun i Bernarda igraju igru u kojoj naizmijence biraju uređene parove brojeva. Bernarda počinje igru i bira uređeni par $(n,1)$ za neki $n \in \mathbb{N}$. Ako je prethodni igrač odabrao uređeni par $(a,b)$, igrač na potezu bira jedan od parova $(a-b,b)$ i $(a-2b,2b)$. Igru gubi igrač koji odabere par u kojem je jedan od brojeva negativan.

Za koliko prirodnih brojeva $n < 2^{100}$ Antun može osigurati pobjedu neovisno o tome kako Bernarda igra nakon svog prvog poteza?

Neka je $ABC$ šiljastokutni trokut u kojem je $|AC| > |BC|$ i neka je $D$ točka na dužini $\overline{AC}$ takva da vrijedi $|BC| = |CD|$. Označimo s $N$ nožište okomice iz točke $D$ na pravac $AB$. Neka je $k$ opisana kružnica trokuta $ABC$ i neka je $r$ njen polumjer. Na pravcu $DN$ odabrana je točka $P$ tako da vrijedi $|PD| = r$, a $D$ se nalazi između $N$ i $P$. Neka je $Q$ drugo sjecište pravca $BD$ s kružnicom $k$. Okomica iz točke $A$ na pravac $CP$ i okomica iz točke $B$ na pravac $PQ$ sijeku se u točki $K$. Dokaži da je točka $K$ na kružnici $k$.

Neka su $k$ i $n$ prirodni brojevi takvi da vrijedi $k \leq 2n$. Dokaži da je

$$2^{2n+2} + 2^{k+2} + 1$$

kvadrat prirodnog broja ako i samo ako vrijedi $k = n$.

Neka je $n \geq 2$ prirodni broj. Za niz prirodnih brojeva $a_1 < a_2 < \ldots < a_n$, kažemo da je par $(i,j)$, $1 \leq i < j \leq n$ zlatni ako vrijedi jednakost

$$a_j^2 - a_i^2 = 2(a_i + a_{i+1} + \ldots + a_j).$$

Odredi najveći mogući broj zlatnih parova (koji se može postići u nekom nizu od $n$ prirodnih brojeva).

Za $2024$-člani podskup skupa prirodnih brojeva kažemo da je skladan ako umnožak bilo kojih $100$ njegovih elemenata dijeli umnožak preostalih $1924$ elemenata.

Koliko najviše prostih brojeva može biti u skladnom skupu?

Kružnice $k_1$ i $k_2$, redom sa središitima $O_1$ i $O_2$, sijeku se u točkama $A$ i $B$. Pravac $p$ prolazi točkom $B$ i sijeće kružnicu $k_1$ još u točki $C$, a kružnicu $k_2$ još u točki $D$, pri čemu se točka $B$ nalazi između $C$ i $D$. Tangenta na kružnicu $k_1$ u točki $C$ i tangenta na kružnicu $k_2$ u točki $D$ sijeku se u točki $E$. Pravac $AE$ sijeće opisanu kružnicu trokuta $AO_1O_2$ u točkama $A$ i $F$.

Dokaži da duljina $|EF|$ ne ovisi o odabiru pravca $p$.

Neka je $n$ prirodni broj. Za prirodni broj $k$ kažemo da je dobar za $n$ ako postoji prirodni broj $r$ takav da je $n < r < k$ i da $r$ dijeli $nk$.

Dokaži da je najmanji broj dobar za $n$ broj

$$(d + 1) \left(\frac{n}{d} + 1\right),$$

gdje je $d$ najveći djelitelj broja $n$ koji nije veći od $\sqrt{n}$.

Odredi sve funkcije $f: \mathbb{R} \to \mathbb{R}$ takve da za sve $x, y \in \mathbb{R}$ vrijedi

$$f(y)f(1 + xf(y)) + xf(y^2) = 2yf(xy) + f(f(y)).$$

Za tročlani podskup skupa prirodnih brojeva kažemo da je jeftin ako u njemu postoje dva broja koja su relativno prosta te dva broja od kojih jedan dijeli drugoga.

Dan je prirodni broj $n$. Koliko najviše jeftinih tročlanih podskupova može imati skup koji sadrži točno $2n + 1$ prirodnih brojeva?

Neka je $ABC$ raznostranični šiljastokutni trokut u kojem je $|AB| > |BC|$. Kružnica promjera $\overline{AC}$ sijeće stranicu $\overline{AB}$ u točki $X$. Na toj kružnici nalazi se točka $Y$ takva da je $CA$ simetrala kuta $\measuredangle YCB$. Neka je $D$ nožište okomice iz $B$ na $AY$. Dužine $\overline{AC}$ i $\overline{XY}$ sijeku se u točki $E$, a dužine $\overline{AC}$ i $\overline{BD}$ u točki $K$. Ako je $T$ točka na stranici $\overline{AB}$ takva da je $TK$ simetrala kuta $\measuredangle ETD$, dokaži da je $TK$ okomito na $AB$.

Odredi sve parove prirodnih brojeva $(m,n)$ za koje postoje prirodni brojevi $a$, $b$, $c$ i $d$ takvi da je

$$\frac{m^a}{n^b} + \frac{n^c}{m^d}$$

prirodan broj, ali broj $\dfrac{m^a}{n^b}$ nije prirodan.

Odredi sve funkcije $f: \mathbb{R} \to \mathbb{R}$ takve da za sve $x, y \in \mathbb{R}$ vrijedi

$$f(xy) = \max\{f(x), f(y)\} \cdot \min\{x, y\}.$$

Neka su $m$ i $n$ prirodni brojevi, $m, n > 1$. U svakom polju ploče dimenzija $m \times n$ nalazi se jedan novčić. Svaki novčić ima dvije strane - pismo i glavu.

Jedan potez sastoji se od sljedećeg:

(i) Odaberemo $2 \times 2$ potkvadrat na ploči.

(ii) Preokrenemo točno tri novčića u tom potkvadratu:

• novčić u gornjem lijevom polju
• novčić u donjem desnom polju
• jedan od novčića u gornjem desnom i donjem lijevom polju (po izboru).

Ako na početku svi novčići pokazuju pismo, odredi sve parove $(m,n)$ za koje se konačnim nizom poteza može postići da svi novčići pokazuju glavu.

Neka je $O$ središte opisane kružnice $k$ trokuta $ABC$ u kojem je $|AB| > |BC|$.

Kružnica $k_1$ prolazi točkama $O$ i $B$, a pravac $AB$ joj je tangenta. Neka se kružnice $k$ i $k_1$ sijeku još i u točki $P$, $P \neq B$. Kružnica $k_2$ prolazi točkama $P$ i $C$, a pravac $AC$ joj je tangenta. Neka se kružnice $k_1$ i $k_2$ sijeku još u točki $M$, $M \neq P$.

Dokaži da je $|MP| = |MC|$.

Odredi sve trojke prirodnih brojeva $(m,n,p)$ takve da je $p$ prost i da vrijedi

$$n(n + 1)(n + p)(n + p + 1)p^6m^2 = (4n + 3)^6(p + 1)^2(p - 4)^2.$$