Search

Odredi sve brojeve $k \in \mathbb{N}$ takve da $$\frac{m + n}{m^2 - kmn + n^2}$$ nije složen prirodni broj ni za koji izbor $m, n \in \mathbb{N}$.

Prove that there are infinitely many natural numbers $a$ with the following property: the number $z = n^4 + a$ is not prime for any natural number $n$.

Prove that there exist infinitely many positive integers $n$ such that $n^2 + 1$ has a prime divisor which is greater than $2n + \sqrt{2n}$.

Determine all composite integers $n > 1$ that satisfy the following property: if $d_1, d_2, \ldots, d_k$ are all the positive divisors of $n$ with $1 = d_1 < d_2 < \cdots < d_k = n$, then $d_i$ divides $d_{i+1} + d_{i+2}$ for every $1 \leqslant i \leqslant k-2$.

Na ploči su napisani brojevi $1, 2, 3, \ldots, 2021$. Je li moguće brojeve brisati jednog po jednog sve dok na ploči ne ostane samo jedan broj, tako da nakon svakog brisanja zbroj svih preostalih brojeva bude složen broj?

Odredi sve prirodne brojeve $n$ za koje su među brojevima $n$, $4^n + 1$ i $n^2 + 2$ barem dva prosta broja.

Dano je $10$ složenih prirodnih brojeva manjih od $840$. Dokaži da među njima postoje barem dva broja koja nisu relativno prosta.

Neka su $a$ i $b$ realni brojevi takvi da su oba rješenja kvadratne jednadžbe $x^2 + ax + b + 1 = 0$ prirodni brojevi. Dokaži da je $a^2 + b^2$ složen prirodni broj.

Odredi sve parove prirodnih brojeva $(a, b)$ takve da su rješenja jednadžbe $x^{2} - ax + b = 0$ dva različita prosta prirodna broja, a rješenja jednadžbe $x^{2} - bx + (5a - 5) = 0$ dva različita složena prirodna broja.

Neka je $n$ prirodni broj veći od $1$ takav da su $2n - 1$ i $3n - 2$ kvadrati prirodnih brojeva.

Dokaži da je broj $10n - 7$ složen.

Neka je $n$ prirodan broj koji se može prikazati kao suma kvadrata dvaju prirodnih brojeva na dva različita načina: $$n = a^2 + b^2 = c^2 + d^2, \quad a \neq c, \quad b \neq d.$$ Dokažite da je $n$ složen broj.

Za dani prirodni broj $n$ neka je $M(n)$ najveći prirodni broj za koji je moguće konstruirati niz prirodnih brojeva $x_{1},x_{2},\ldots ,x_{M(n)}\in \{2,3,\ldots ,n\}$ tako da vrijedi:

Za svaka dva različita broja $i,j\in \{1,2,\ldots ,M(n)\}$ brojevi $2^{x_i} - 1$ i $2^{x_j} - 1$ su relativno prosti.

Ako je $M(k) = M(k - 1)$ za neki prirodni broj $k > 1$, dokaži da je $k$ složen.