Search

Za prirodan broj $n$ promatramo skup $$S = \{0, 1, 1+2, 1+2+3, \dots, 1+2+3 + \dots + (n-1)\}.$$

a) Ako je $n$ potencija broja $2$, dokaži da svi elementi od $S$ daju različite ostatke pri dijeljenju s $n$.

b) Ako $n$ nije potencija broja $2$, dokaži da postoje dva elementa od $S$ koja daju isti ostatak pri dijeljenju s $n$.

Let $a$ and $b$ be positive integers. When $a^2 + b^2$ is divided by $a + b$, the quotient is $q$ and the remainder is $r$. Find all pairs $(a, b)$ such that $q^2 + r = 1977$.

Let $a_1, a_2, \ldots$ be a sequence of integers with infinitely many positive and negative terms. Suppose that for every positive integer $n$ the numbers $a_1, a_2, \ldots, a_n$ leave $n$ different remainders upon division by $n$.

Prove that every integer occurs exactly once in the sequence $a_1, a_2, \ldots$.

Možemo li iz svakog deveteročlanog podskupa skupa prirodnih brojeva odabrati četiri različita elementa $a$, $b$, $c$ i $d$, tako da brojevi $a + b$ i $c + d$ daju isti ostatak pri dijeljenju s $20$?

Dokaži da svi članovi niza $$a_1 = 4 \cdot 2024^1 - 2024, \quad a_2 = 4 \cdot 2024^2 - 20244, \quad \ldots, \quad a_n = 4 \cdot 2024^n - \underbrace{2024\ldots4}_{n \text{ puta}}, \text{ za } n \in \mathbb{N},$$ daju ostatak 11 pri dijeljenju s 19.