Search

Dan je prirodni broj $N$. U svakom polju tablice $N \times N$ na početku je upisana nula. U svakom potezu dozvoljeno je odabrati redak ili stupac, obrisati sve brojeve koji se nalaze u njemu i upisati brojeve od $1$ do $N$ proizvoljnim redom. Koliko maksimalno može iznositi zbroj svih brojeva u tablici?

Neka je $N$ prirodan broj i neka je $S = \{1, 2, \ldots, N\}$. Neka su $a_{i,j}$ međusobno različiti realni brojevi takvi da za sve $i, j \in S$ vrijedi: ako je $i < j$, onda je $$a_{i,k} < a_{j,k} \quad \text{i} \quad a_{k,i} < a_{k,j}, \quad \text{za sve} \quad k \in S.$$

Neka je $n$ prirodan broj takav da je $2(n-1)^2 < N$. Dokaži da postoje $n$-člani podskupovi $I, J \subset S$ takvi da vrijedi jedna od sljedeće dvije tvrdnje:

• za sve $i, k \in I$ vrijedi: ako je $i < k$, onda je $a_{i,j} < a_{k,l}$, za sve $j, l \in J$,

• za sve $j, l \in J$ vrijedi: ako je $j < l$, onda je $a_{i,j} < a_{k,l}$, za sve $i, k \in I$.

Let $A = (a_{ij})$ $(i, j = 1, 2, \ldots, n)$ be a square matrix whose elements are non-negative integers. Suppose that whenever an element $a_{ij} = 0$, the sum of the elements in the $i$th row and the $j$th column is $\geq n$. Prove that the sum of all the elements of the matrix is $\geq n^2/2$.

An $n \times n$ matrix whose entries come from the set $S = \{1, 2, \ldots, 2n - 1\}$ is called a silver matrix if, for each $i = 1, 2, \ldots, n$, the $i$th row and the $i$th column together contain all elements of $S$. Show that

(a) there is no silver matrix for $n = 1997$;

(b) silver matrices exist for infinitely many values of $n$.

Find all positive integers $n$ for which each cell of an $n \times n$ table can be filled with one of the letters $I$, $M$ and $O$ in such a way that:

• in each row and each column, one third of the entries are $I$, one third are $M$ and one third are $O$; and
• in any diagonal, if the number of entries on the diagonal is a multiple of three, then one third of the entries are $I$, one third are $M$ and one third are $O$.

Note: The rows and columns of an $n \times n$ table are each labelled 1 to $n$ in a natural order. Thus each cell corresponds to a pair of positive integers $(i,j)$ with $1 \leq i,j \leq n$. For $n > 1$, the table has $4n - 2$ diagonals of two types. A diagonal of the first type consists of all cells $(i,j)$ for which $i + j$ is a constant, and a diagonal of the second type consists of all cells $(i,j)$ for which $i - j$ is a constant.

The numbers from $1$ to $2013^{2}$ are written row by row into a table consisting of $2013 \times 2013$ cells. Afterwards, all columns and all rows containing at least one of the perfect squares $1,4,9,\ldots,2013^{2}$ are simultaneously deleted.

How many cells remain?

U polja kvadrata $3 \times 3$ treba upisati prirodne brojeve, tako da u svakom retku i svakom stupcu produkt upisanih brojeva bude $270$. Na koliko je načina to moguće napraviti?

U svako polje tablice $5 \times 5$ upisan je po jedan cijeli broj pri čemu se u pojedinom retku ili stupcu isti broj nalazi najviše tri puta. Razlika bilo koja dva broja u istom retku ili stupcu iznosi najviše $2$. U tablici se nalazi broj $0$, ali ne i broj $4$. Odredi najveći mogući zbroj svih brojeva u tablici.

Za prirodni broj $n$ kažemo da je tablica s tri retka i $n$ stupaca čarobna ako postoji prirodni broj $k$, $1 \leqslant k \leqslant n$, takav da se

• u prvom retku nalaze redom brojevi $1, 2, \ldots, n$,

• u drugom retku nalaze redom brojevi $k, k+1, \ldots, n, 1, 2, \ldots, k-1$,

• u trećem retku nalaze brojevi od $1$ do $n$ u takvom poretku da su zbrojevi triju brojeva u svakom stupcu međusobno jednaki.

Odredi sve prirodne brojeve $n$ za koje postoji čarobna tablica i za svaki takav $n$ odredi koliko ima čarobnih tablica.

U polja kvadrata $3 \times 3$ treba upisati prirodne brojeve, tako da u svakom retku i svakom stupcu produkt upisanih brojeva bude $270$. Na koliko je načina to moguće napraviti?

Upiši u prazna polja tablice brojeve tako da u svakom retku, stupcu i dijagonali broj u sredini bude aritmetička sredina druga dva broja. Obrazloži!

$$\begin{array}{|c|c|c|} \hline & 8 & \\ \hline 11 & & \\ \hline & & 29 \\ \hline \end{array}$$

U svako polje tablice $10 \times 10$ upisan je po jedan prirodni broj, a svih $20$ zbrojeva brojeva u njezinim retcima i stupcima međusobno su različiti. Koliko iznosi najmanji mogući zbroj svih brojeva u tako popunjenoj tablici?

Promotrimo tablicu brojeva s $50$ redaka i $50$ stupaca, oblika: $$\left[ \begin{array}{cccccc} a_{1,1} & a_{1,2} & \ldots & a_{1,49} & a_{1,50} \\ 0 & a_{2,2} & \ldots & a_{2,49} & a_{2,50} \\ \vdots & \vdots & & \vdots & \\ 0 & 0 & \ldots & a_{49,50} & a_{49,50} \\ 0 & 0 & \ldots & 0 & a_{50,50} \end{array} \right]$$ pri čemu oznaka $a_{i,j}$ označava broj koji se nalazi u $i$-tom retku i $j$-tom stupcu i pri čemu su brojevi $a_{1,1}, a_{1,2}, \ldots, a_{50,50}$ iz skupa $S = \{2,3\ldots,22\}$. Odredite broj tablica navedenog oblika koje u svakom retku imaju točno jedan neparan broj. (Napomena: konačno rješenje može se napisati u obliku umnoška, bez dodatnog računanja.)

U svako polje pravokutne tablice upisan je po jedan realan broj tako da zbroj brojeva u svakom retku tablice iznosi $1$, a zbroj brojeva u svakom stupcu tablice iznosi $2$.

(a) Može li tablica imati točno $200$ polja?

(b) Može li tablica imati točno $2000$ polja?

Tablica dimenzija $2025 \times 2025$ popunjena je tako da se u polju u $i$-tome retku i $j$-tome stupcu nalazi broj $i + j - 1$, za sve $i, j \in \{1, 2, \ldots, 2025\}$. Odabrano je 2025 polja koja se nalaze u različitim retcima i različitim stupcima.

Koja je najmanja moguća vrijednost umnoška brojeva na odabranim poljima?

Na koliko načina se u tablicu $3 \times 3$ mogu upisati brojevi od $1$ do $9$ tako da zbrojevi brojeva u svakom retku, u svakom stupcu i na svakoj dijagonali budu djeljivi s $3$?

Tablica dimenzija $n \times n$ ispunjena je jedinicama i nulama. Poznato je da ne postoje četiri jedinice na mjestima koje čine pravokutnik. Dokažite da je broj jedinica u tablici najviše $\dfrac{n}{2}\left(1 + \sqrt{4n - 3}\right)$.

Zadana je tablica $5 \times n$ kojoj je svako polje obojano u crvenu ili plavu boju. Nadite najmanji $n$ za koji se uvijek mogu odabrati tri retka i tri stupca takva da je svih $9$ polja u njihovom presjeku iste boje.

U tablicu $n \times n$, $n \geqslant 2$, potrebno je upisati brojeve $1$, $2$, $3$ i $4$ tako da svaka četiri polja koja imaju jedan zajednički vrh sadrže četiri različita broja.

Na koliko je načina to moguće napraviti?

Za dva polja tablice $10 \times 10$ kažemo da su prijateljska ako imaju barem jedan zajednički vrh. U svako polje tablice upisan je po jedan prirodni broj manji ili jednak $10$, tako da su brojevi u prijateljskim poljima relativno prosti. Dokaži da postoji broj koji se pojavljuje u toj tablici barem $17$ puta.

Neka je $n$ prirodni broj. Na koliko načina možemo tablicu $n \times n$ popuniti brojevima $1, 2, -1, -2$ tako da umnožak brojeva u svakom retku bude jednak $-2$ i da umnožak brojeva u svakom stupcu bude također jednak $-2$?