Grade 9 1999

Kružnice $k_1$ i $k_2$ polumjera $r_1 = 6$ i $r_2 = 3$ dodiruju se izvana. Obje kružnice dodiruju iznutra kružnicu $k$ polumjera $r = 9$. Zajednička vanjska tangenta kružnica $k_1$ i $k_2$ siječe kružnicu $k$ u točkama $P$ i $Q$. Izračunajte duljinu tetive $\overline{PQ}$.

Neka su $a$, $b$ i $c$ pozitivni realni brojevi takvi da je $a + b + c = 1$. Dokažite da vrijedi nejednakost $$\frac{a^3}{a^2 + b^2} + \frac{b^3}{b^2 + c^2} + \frac{c^3}{c^2 + a^2} \geq \frac{1}{2}.$$

Dokažite da je za svaki $a \in (1,2)$ površina lika kojeg omeđuju grafovi funkcija $$y = 1 - |x - 1| \quad \text{i} \quad y = |2x - a|,$$ manja od $\dfrac{1}{3}$.

Dana je trojka $(a_1, a_2, a_3) = (3, 4, 12)$. Provodimo sljedeći postupak: biramo dva broja $a_i$ i $a_j$, $(i \neq j)$, te ih zamijenimo sa $0.6a_i - 0.8a_j$ i $0.8a_i + 0.6a_j$. Može li se višekratnom primjenom gore opisanog postupka dobiti trojka $(2, 8, 10)$?