Grade 9 2004

Odredite sva realna rješenja sustava jednadžbi $$x^2 - y^2 = 2(xz + yz + x + y),$$ $$y^2 - z^2 = 2(yx + zx + y + z),$$ $$z^2 - x^2 = 2(zy + xy + z + x).$$

Dokažite da su težišnice iz vrhova $A$ i $B$ trokuta $ABC$ međusobno okomite ako i samo ako za duljine stranica vrijedi jednakost $$|BC|^2 + |AC|^2 = 5|AB|^2.$$

Dokažite da za svaka tri realna broja $x, y, z$ vrijedi nejednakost $$|x| + |y| + |z| - |x + y| - |y + z| - |z + x| + |x + y + z| \geq 0.$$

Niz znamenaka $1, 2, 3, 4, 0, 9, 6, 9, 4, 8, 7, \ldots$ konstruira se tako da je svaki broj, počevši od petog, jednak znamenki jedinica zbroja prethodne četiri znamenke.

a) Da li se u tom nizu redom pojavljuju znamenke $2, 0, 0, 4$, tim redom?

b) Da li se u tom nizu ikad ponavljaju početne znamenke $1, 2, 3, 4$, tim redom?