Grade 9 2010

U šesterokutu $ABCDEF$ vrijedi $$AB \perp BC, \quad AC \perp CD, \quad AD \perp DE, \quad AE \perp EF.$$

Ako su duljine stranica tog šesterokuta prirodni brojevi, dokaži da ne mogu svi biti neparni.

Neka su $a$, $b$ i $c$ pozitivni realni brojevi za koje vrijedi $a^2 + b^2 + c^2 = \frac{1}{2}$. Dokaži nejednakost $$\frac{1 - a^2 + c^2}{c(a + 2b)} + \frac{1 - b^2 + a^2}{a(b + 2c)} + \frac{1 - c^2 + b^2}{b(c + 2a)} \geqslant 6.$$

Na $n$ kartica napisane su rečenice:

$$\emph{"Barem $k$ rečenica lijevo od ove kartice je lažno."}$$

za $k = 0,1,2,\ldots,n-1$. Kartice su složene u nekom redoslijedu slijeva nadesno. Koliko najviše rečenica može biti istinito?

U trokutu $ABC$ vrijedi $\measuredangle ACB = 90^\circ + \frac{1}{2} \measuredangle CBA$, a $M$ je polovište dužine $BC$. Kružnica sa središtem u točki $A$ siječe pravac $BC$ u točkama $M$ i $D$.

Dokaži da je $|MD| = |AB|$.

Dana je dvadeset i jedna točka kao na slici.

Na početku je svakoj točki pridružen broj nula.

U svakom potezu odabire se pravac koji sadrži neku od nacrtanih dužina i u svim točkama kroz koje taj pravac prolazi, pridruženi brojevi se povećavaju za $1$.

Kažemo da je prirodni broj $n$ dohvatljiv ako se na opisani način može postići da je nakon određenog broja poteza svim točkama pridružen isti broj $n$.

a) Dokaži da je broj $2010$ dohvatljiv.

b) Dokaži da broj $2011$ nije dohvatljiv.