Grade 9 2017

Ako su $a$ i $b$ prirodni brojevi, onda je $\overline{\overline{a.b}}$ decimalni broj dobiven tako da iza broja $a$ zapišemo decimalnu točku i nakon toga broj $b$. Na primjer, ako je $a = 20$ i $b = 17$, onda je $\overline{\overline{a.b}} = 20.17$ i $\overline{\overline{b.a}} = 17.2$.

Odredi sve parove $(a, b)$ prirodnih brojeva za koje vrijedi $\overline{\overline{a.b}} \cdot \overline{\overline{b.a}} = 13$.

Neka su $a$ i $b$ cijeli brojevi različite parnosti. Dokaži da postoji cijeli broj $c$ takav da su brojevi $ab + c$, $a + c$ i $b + c$ kvadrati cijelih brojeva.

Ako su $x$, $y$, $z$ i $w$ pozitivni realni brojevi takvi da vrijedi

$$\frac{x}{y + z + w} + \frac{y}{z + w + x} + \frac{z}{w + x + y} + \frac{w}{x + y + z} = 1,$$

odredi

$$\frac{x^2}{y + z + w} + \frac{y^2}{z + w + x} + \frac{z^2}{w + x + y} + \frac{w^2}{x + y + z}.$$

Neka je $ABC$ šiljastokutni trokut. Točka $B'$ je osnosimetrična slika točke $B$ s obzirom na pravac $AC$, a točka $C'$ je osnosimetrična slika točke $C$ s obzirom na pravac $AB$. Kružnice opisane trokutima $ABB'$ i $ACC'$ sijeku se u točkama $A$ i $P$. Dokaži da središte kružnice opisane trokutu $ABC$ leži na pravcu $AP$.

Polja ploče dimenzija $N \times N$ obojana su u crno i bijelo tako da su polja koja imaju zajedničku stranicu različite boje i tako da je barem jedno polje u kutu ploče crne boje. U pojedinom koraku odabire se kvadrat dimenzija $2 \times 2$ i sva četiri polja unutar tog kvadrata mijenjaju boju tako da bijela polja postaju crna, crna postaju siva, a siva postaju bijela.

Odredi sve prirodne brojeve $N > 1$ za koje je konačnim nizom opisanih koraka moguće postići da sva polja koja su na početku bila crna budu bijela i da sva polja koja su na početku bila bijela budu crna.